OrbiterManual/de/v060929/Appendix C Calculation of orbital elements

Anhang C Berechnung von Bahnelementen

Sechs skalare Parameter („Elemente“) sind erforderlich, um die Form einer elliptischen Umlaufbahn, ihre Orientierung im Raum und eine Position entlang ihrer Bahn zu definieren.

a Halbgroße Achse

e Exzentrizität

i Neigung

Ω Längengrad des aufsteigenden Knotens

ω Argument der Periapsis

ν wahre Anomalie

C.1 Berechnen von Elementen aus Zustandsvektoren

Seien r und v die kartesischen Positions- und Geschwindigkeitsvektoren eines umlaufenden Objekts in Koordinaten eines Bezugssystems, bezüglich dessen die Elemente der Umlaufbahn berechnet werden sollen (zB geozentrisch äquatorial für eine Erdumlaufbahn oder heliozentrische Ekliptik für eine Umlaufbahn um die Sonne). Wir nehmen ein rechtshändiges System an, bei dem die x-Achse in Richtung Frühlings-Tagundnachtgleiche (oder eine andere Bezugsrichtung) und die z-Achse nach oben zeigt.

Berechnen Sie die folgenden Hilfsvektoren:

$\mathbf {h}$ = $\mathbf {r}$ × $\mathbf {v}$ = ($r_{y}v_{z}-r_{z}v_{y},-r_{x}v_{z}+r_{z}v_{x},r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x})$

$\mathbf {n}$ = $\mathbf {z}$ × $\mathbf {h}$ = ($-h_{y},h_{x},0)$

$\mathbf {e} ={\frac {1}{\mu }}{\Biggl [}{\Biggl (}v^{2}-{\frac {\mu }{\left|\mathbf {r} \right|}}{\Biggr )}\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} {\Biggr ]}$

wobei h ein Vektor senkrecht zur Bahnebene ist, n zum aufsteigenden Knoten zeigt (die z-Komponente von n ist null), und e der Exzentrizitätsvektor (in Richtung Periapsis) mit μ=GM ist, G die Gravitationskonstante und M ist die Masse des Zentralkörpers (die Masse des Orbiters vernachlässigt).

Halbgroße Achse:

$e=\left|\mathbf {e} \right|$ oder $e={\sqrt {1+{\frac {2Eh^{2}}{\mu ^{2}}}}}$

Neigung:

$i=\arccos {\frac {h_{z}}{|\mathbf {h} |}}$

Längengrad des aufsteigenden Knotens:

$\Omega =\arccos {\frac {n_{x}}{|\mathbf {n} |}}$ (wenn $n_{y}<0$ dann $\Omega =2\pi -\Omega$

$\Omega$ ist der Winkel zwischen Bezugsrichtung (1,0,0) (z.B. Frühlings-Tagundnachtgleiche) und dem aufsteigenden Knoten.

$\Omega$ ist für äquatoriale Bahnen undefiniert (i = o), in diesem Fall setzt Orbiter konventionsgemäß $\Omega =o$, d. h. er platziert den aufsteigenden Knoten in Referenzrichtung, was der Einstellung von ${\frac {\mathbf {n} }{|\mathbf {n} |}}$ = (1,0,0).

Argument der Periapsis:

$\omega =\arccos {\frac {\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} }{|\mathbf {n} ||\mathbf {e} |}}$ (wenn $e_{z}$<0 dann $\omega =2\pi -\omega$)

$\omega$ ist der Winkel zwischen dem aufsteigenden Knoten und der Periapsis. $\omega$ ist für äquatoriale Bahnen undefiniert, in diesem Fall erhalten wir gemäß obiger Konvention